UN NUEVO TEOREMA DE ANÁLISIS DIMENSIONAL
Y SUS APLICACIONES
Aplicación geodésica
El objeto del presente trabajo es proveer un método para la obtención de unidades o patrones de medida que vaya más allá del sistema corriente de definir una unidad cualquiera sobre una base puramente convencional. El procedimiento consiste en establecer entre dos magnitudes consideradas de particular importancia una doble relación no reducible linealmente que determina unívocamente una unidad de medida. En la práctica el método se muestra dotado de propiedades que llevan sus convenciones a una generalidad universal y sus medidas a un grado de reproductibilidad no sospechado hasta ahora para ningún sistema de unidades.
Si entre dos magnitudes diferentes de la misma especie establecemos las siguientes relaciones:
(2)
(donde a, n, son constantes diferentes de son los números de medida de las magnitudes respectivas; k y k1 cantidades desconocidas y v representa la unidad de medida en un sistema convencional) tendremos una unidad de medida definida unívocamente.
(3)
Se ve así que por las (3) las (2) son una definición perfectamente operativa que para el caso n=0 representan el postulado de Bridgraan de la “significación absoluta de la magnitud relativa”. Si ahora establecemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas;
(4)
donde las X expresan números de medida en un sistema u determinado por las (4) y cuyo valor podemos obtener mediante e! postulado de Bridgman:
(donde X, y X2, son números de medida en un sistema convencional) de acuerdo con la (1) :
(5)
que es e! mismo resultado que obtuvimos anteriormente (3) lo que índica que el postulado de Bridgman equivale a establecer que las dos magnitudes entre las que establecemos las relaciones (4), han de ser medidas con la misma unidad de medida. Esta es la prescripción contenida en el postulado la cual expresada explícitamente permite demostrar el postulado como un teorema, ya que otras prescripciones están, a nuestro juicio, contenidas tanto en (4) como en (2) ya que corresponden a las reglas usuales del álgebra y la geometría euclidiana. Esto tiene importancia pues nos va a permitir expresar los principios del Análisis Dimensional en la forma compacta y con la economía de principios que puede observarse:
PRESCRIPCIÓN. Toda comparación entre medidas de magnitudes de la misma especie ha de efectuarse siempre en base a números que expresen medidas en la misma unidad.
AXIOMA 1: Los números adimensionales que resultan de la comparación de magnitudes son independientes de la magnitud de la unidad de comparación.
TEOREMA 1: La comparación entre magnitudes de la misma especie permite siempre establecer la siguiente ecuación:
donde es independiente de la magnitud de las unidades de medida.
Demostración: El número a es un número adimensional por ser las v de la misma especie y de igual magnitud por prescripción, luego de acuerdo con el axioma 1 es independiente de la unidad de medida.
TEOREMA 2: Una relación no homogénea entre dos magnitudes de la misma especie determina unívocamente una unidad de medida.
Demostración: Si establecemos una relación no homogénea como la primera de las (4) siempre podremos establecer la segunda de acuerdo con el teorema 1 quedando entonces las X, y X¡¡ determinadas por un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
La existencia del teorema 2 no deja lugar para un principio de homogeneidad generalizado ni aun en el aspecto puramente formal del análisis.
Demostrado el teorema 2 que a los fines de su aplicación y también por su relación con el “teorema de Bridgman” llamaremos con el enunciado inverso simétrico de éste: “teorema de la significación relativa de la magnitud absoluta” corresponde observar que limitaremos su aplicación al caso para el cual el valor de las unidades “absolutas” viene dado por las siguientes fórmulas:
(6)
(donde como antes las x expresan números de medida en las unidades v y a es la constante del teorema 1).
Con relación también a las aplicaciones daremos las fórmulas que para el caso de la comparación entre superficies esféricas surgen de las (6) :
(7)
donde es la relación entre los radios de las esferas y R, r y n representan respectivamente la longitud en unidades absolutas de los radios de las esferas mayor, menor y longitud del meridiano de la esfera menor.
Corresponde ahora a fin de dejar perfectamente aclarada la significación del teorema 2 hacer algunas aplicaciones del mismo. Consideremos en primer término el caso simple de un prisma de base cuadrada, determinado por un parámetro en base a la condición:
4 L
—–= (8)
2 R
donde L es el lado de la base y R la altura del prisma. Si establecemos los Teoremas Métricos entre la superficie lateral y la superficie de la base en la siguiente forma:
8 L R u2 — 16/ . L2 u2
8 L R u2 = (L2 u2)2 (9)
(donde las u representan las unidades de medida que llamamos absolutas). Por la aplicación de las (6) llegamos a las siguientes medidas para el prisma:
(10)
La forma compacta de las expresiones (10) tiene sus ventajas y en el siguiente ejemplo tendremos oportunidad de aplicar este proceso por la relación entre la superficie del prisma y dos esferas, proceso al que llamaremos “racionalización”. En efecto la superficie lateral del prisma es igual a la superficie de la hemisfera de radio igual a la altura de! prisma y si hacemos que la superficie de la otra esfera sea igual a la superficie de la base tendremos las relaciones siguientes:
(11)
donde r representa el radio de la esfera menor. Por la aplicación de las (7) llegamos a los siguientes valores para las dos esferas:
(12)
Hemos elegido estos dos ejemplos de relacionamiento geométrico en base a los teoremas métricos pues los mismos se prestan para una aplicación geodésica ya que las dos esferas que aparecen asociadas al prisma tienen entre sí sus radios como puede verse en (12) en una relación muy aproximada (para los dígitos) a la que hay entre el radio ecuatorial terrestre y el radio de la órbita terrestre, dando ello lugar a que las cifras astronómicas y geodésicas puedan expresarse en la forma compacta que muestran las (12). Si establecemos ahora los Teoremas Métricos entre las dos esferas que indican la distancia al Sol y el radio terrestre modificado ligeramente para el valor de encontramos de acuerdo con las (7) que el valor del meridiano es:
es decir que la unidad absoluta es exactamente:
“La diezmilésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre”.
Es una coincidencia llamativa que mediante la aplicación de los Teoremas Métricos hayamos llegado exactamente a la convención de Delambrc (12). Podemos subrayar la coincidencia, pues la pequeña corrección introducida en la definición de radio terrestre sólo ha servido para mejorar la convención de Delambre en dos puntos defectuosos: 1) Posibilidad de obtención de una unidad absolutamente re-productible; ya que mediante la convención esférica queda la longitud del meridiano referido al radio polar. 2) Mejora en el carácter de la definición de globo terráqueo ya que es elemental que nuestro globo incluye también una atmósfera para la cual el valor de 300 Kmtr. es aceptable.
La convención de Delambre mejorada mediante la aplicación de los Teoremas Métricos’ pierde en gran parte su carácter convencional ya que como veremos no se trata de un hecho aislado de aplicación exclusivamente geodésica, sino que es general para todos los astros del sistema solar y satélites con respecto a su astro central. De tal modo podemos decir que la convención de Delambre es una convención del universo.
Con respecto a nuestro planeta la aplicación de los Teoremas Métricos y su racionalización con relación al prisma nos proporciona las siguientes medidas en lo que llamaremos Kilómetro Absoluto.
