Los Sólidos de Arquímedes
El último y más grande representante de esta matemática de origen caldeo-egipcio lo fue un matemático de la Magna Grecia: Arquímedes de Siracusa. Representó la culminación de la matemática y la tecnología griegas y se acercó tanto a los modernos que se lo considera el creador del Cálculo Infinitesimal y la Mecánica Analítica. No es menester hablar de sus trabajos sobre hidráulica, mecánica, óptica, que son bien conocidos; bastará destacar que se lo considera por consenso unánime uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos.
Entre los desarrollos matemáticos atribuidos a Arquímedes se cuenta su famoso “algoritmo” -que establece, en lenguaje moderno, que el arco está comprendido entre el seno y la tangente- y con el cual Ludolf -1600 d.C.- calculó el número ∏ con 32 cifras decimales. Arquímedes en cambio dio como valor de ∏ la relación 22/7 o sea el número 3,1428.
Mucho se ha discutido sobre la supuesta incapacidad de Arquímedes para calcular ∏ con mayor número de cifras (7). Para un calculista como Arquímedes no hubiera sido difícil calcular ∏ con todas las cifras que quisiera. No se ha prestado atención a la verdadera preocupación de Arquímedes en este sentido que era la obtención de una “relación sencilla” para ∏. Para ello dio Arquímedes dos cifras:
y
una por exceso la otra por defecto. La primera, por exceso, corresponde al valor 22/7 -que aparece en la Gran Pirámide- y que es el mejor valor “racional” de ∏ conocido hasta hoy.
Volviendo sobre las posibilidades de Arquímedes para calcular n con muchas cifras, quiero recordar aquí una obra de Arquímedes desconocida para todos los eruditos de nuestros días y sólo citada por Heiberg (44) en la cual Arquímedes calcula ∏ con seis cifras. El título de la obra “De los paralelepípedos y los cilindros” es calificado por Heiberg como “misterioso”. Más adelante vamos a ver la estrecha vinculación de este título con la geometría de los “Teoremas Métricos” -base matemática y origen de la metrología egipcia.
La obra de Arquímedes pone el énfasis en cuestiones que para los matemáticos modernos son de secundaria importancia. Según Plutarco (103) Arquímedes mandó grabar en su epitafio una esfera inscripta en un cilindro; y Cicerón confirma que éste fue el epitafio de su lápida del cementerio de Siracusa encontrada por él y olvidada de los compatriotas del genial siracusano. Se ha discutido en torno a la significación de este curioso epitafio y un moderno compilador de las obras de Arquímedes -Paul van Eecke (125)- lo asocia al de Bernoulli en el que figuraba la espiral logarítmica, creación del matemático francés, con la leyenda: “Renaceré igual a mí mismo” aludiendo a las conocidas propiedades de esta curva de ser su propia desarrollada, antidesarrollada, cáustica y pericáustica.
De cualquier manera que fuese, Arquímedes consagró al estudio de la esfera inscripta en el cilindro una parte substancial de sus meditaciones. Dejó escrito un completo tratado con el título “De la Esfera y el Cilindro” (43) que se ve continuado por otro titulado “De los Conoides y Esferoides” (43); e incluso su tratado “De el Método de la Mecánica” (45) gira en torno a esta proposición de las relaciones entre el cono, el cilindro y la esfera pues aquí demuestra las propiedades geométricas de estas figuras por la invariancia de lo que modernamente llamamos el “momento estático” y utilizando un método de cálculo que es, históricamente, el comienzo del cálculo integral. La inversión así lograda del problema geométrico es sólo comparable a la realizada dos mil años después por Descartes al crear la Geometría Analítica. La Mecánica Analítica se inicia con esta demostración de las propiedades de la esfera y el cilindro mediante consideraciones de naturaleza mecánica.
Es evidente que esta cuestión del cilindro y la esfera era una honda preocupación de Arquímedes. ¿Podría ser ello debido nada más que a la propiedad que cita Plutarco (103) de que los volúmenes del cono, la esfera y el cilindro se presentan en la relación 1, 2, 3? Personalmente, me inclino a ver lo substancial de este asunto en la proposición XXXIV del Libro I de “De la Esfera y el Cilindro” (125) en donde demuestra las propiedades del cono determinado por el círculo máximo e inscripto en la esfera y, sobre todo, en el corolario a esta proposición en donde demuestra que “la superficie de la esfera es igual a la superficie lateral del cilindro”.
Para juzgar de la importancia de una proposición matemática no basta con analizar la posición jerárquica que a la misma corresponde en la exposición deductiva. Este simple corolario esconde suficiente substancia como para haber hecho meditar a Arquímedes hasta la tumba.
Con esto volvemos al problema de los números irracionales que habíamos tocado al comenzar el capítulo anterior a propósito de los cuadrados de las dimensiones de la Camera de Belzoni (2ª Pir, Gizeh) que permitían calcular directamente el valor de las diagonales como simples sumas. Y es de observar que en la proposición de la igualdad de las superficies de la esfera y el cilindro nos encontramos con un problema equivalente al de la cuadratura del círculo, porque la superficie lateral del cilindro es simplemente un rectángulo cuya área es exactamente igual a la de la esfera inscripta. ¿Cómo no habían de pensar los viejos matemáticos que por este camino llegarían a la solución del difícil problema de la cuadratura del círculo? El problema de la cuadratura de la esfera es en apariencia mucho más espinoso que el de la cuadratura del círculo y no obstante, por una ironía del destino, fue resuelto por Arquímedes con simplemente inscribir la esfera en el cilindro.
¿Cómo podría resolverse el problema? Los esfuerzos de los antiguos y del propio Arquímedes, tendientes a expresar al número ∏ con una fracción sencilla vinculan a una misma preocupación el problema de los números irracionales y la cuadratura del círculo. Hoy el problema es puramente histórico pues al demostrar Hermite en 1873 que ∏ es un número inconmensurable quedó cerrada toda posibilidad para la solución geométrica del problema de la cuadratura del círculo. La simple expresión: e¡∏ = -1 fue el punto final para milenios de preocupación en torno a la solución geométrica de la cuadratura, pues siendo e un número inconmensurable, también debe serlo ∏.
Pero ¿supo Arquímedes que la figura que ordenó inscribir en su tumba era la imagen geométrica de la Gran Pirámide? La obra de Arquímedes tiene mucho de personal y lo que él recibiera de sus maestros, y él mismo aprendiera en Alejandría, difícilmente contendría lo ya perdido en una tradición varias veces milenaria. Es posible que hasta él llegara nada más que la idea de que en torno a estas figuras tan simples se encerraban importantes problemas y que, tentando su descubrimiento, llegara a aquellos sus desarrollos.
De cualquier manera que ello haya sido, lo concreto es que el “cono de Arquímedes” -el cono inscripto en la esfera- goza de la propiedad de que: “El perímetro de la base dividido por la altura es igual a 2 ∏”. Nos encontramos, pues, ante una total similitud geométrica. Es evidente entonces que en lenguaje geométrico la pirámide de Kheops es simplemente un cono. ¿Será necesario decir que el cono, a su vez, esconde al cilindro y que éste encierra a la esfera?
Así, pues, Arquímedes y los constructores de la pirámide coincidieron en atribuir una gran importancia a estas simples figuras de una geometría que, entre otras cosas, aspira a superar el abismo de la irracionalidad.
Fig. 6. El perímetro de la base de la Gran Pirámide es igual a la longitud de la circunferencia dada por la altura de ésta.
Ahora bien, si la pirámide es en realidad un cono ¿podrá ello tener otro significado aparte del geométrico? Hay que sorprenderse de que los arqueólogos hayan discutido y meditado tanto sobre las posibles relaciones que podrían existir entre el “ben-ben” de Heliópolis y la Gran Pirámide. Se han tejido las más inimaginables conjeturas para relacionar el ben-ben con la pirámide; desde aquellas que consideran que la visión de las pirámides en el desierto sugiere un cono a la distancia (30) hasta aquellas que creen ver al cono en los haces de luz que el Sol envía entre las nubes (76). Imágenes poéticas, sin duda, pero que no van a lo más simple porque si la pirámide es, geométricamente, un cono ¿qué tiene de extraño que el ben-ben o cono sagrado de piedra -guardado en el templo de Heliópolis como su más precioso objeto- tuviera vinculación con la pirámide? En algunos relieves egipcios aparece el Ave Fénix posándose en el ben-ben. Se interpreta esto con un contenido simbólico de resurrección: La pirámide, de esencia femenina, es fecundada por el Sol.
Habíamos visto que los números poseían, para los egipcios como una personalidad inmortal, una modalidad proteica; las figuras geométricas parecen poseer también algo de esta virtud mágica y el cono no es para ellos la simple equivalencia geométrica determinada por las proporciones de la pirámide. La pirámide es el ben-ben, el cono mismo. Esta capacidad de transposición es muy propia de los primitivos. Es lógico pensar que los monjes-astrónomos de la prehistoria vieran las estrellas con muy otros ojos que nosotros los mecanicistas del siglo XX. La magia de la racionalización que todavía sedujo a Arquímedes tenía que apasionar al geómetra de las edades primigenias.
