Goniometría
La goniometría es uno de los puntos cruciales en la discrepancia que resulta del análisis arqueológico conducido filológicamente y el análisis arqueológico que utiliza elementos de la tecnología.
De importancia para estos estudios será el conocimiento de la capacidad de apreciación de los diferentes instrumentos usados en diversas épocas para la medición de ángulos. El instrumento primitivo que corresponde a nuestro teodolito de hoy era el astrolabio, y el antecesor del sextante lo fue la ballestilla o “bastón de Jacob”. Con cualquiera de estos instrumentos (110) el error que se cometía era del orden de 30′.
Astrolabios de grandes dimensiones fueron usados siempre por los astrónomos. Hiparco fue quien inauguró en época histórica (44) la astronomía de precisión. Su astrolabio debió estar formado por “alidadas” (guías rectilíneas) y “pínulas” (diafragmas con pequeños agujeros). A pesar de este instrumento, Hiparco pudo descubrir la “precesión del equinoccio” por contar con las observaciones de Aristilos que acumularon, a lo largo de 130 años (75), una diferencia en longitud, de la posición de las estrellas, de 1°50′.
El astrolabio de Ptolomeo (130 d.C.) medía con errores de 10′, como lo afirma Kepler en su “Comentario sobre Marte”, y no hay que pensar que el de Hiparco fuera mejor. Tampoco los astrolabios árabes posteriores fueron mejores y a pesar del extremo cuidado que manifiestan algunos de sus catálogos de estrellas -el más notable de los cuales fue el confeccionado por Ulug-Beg en el observatorio de Samarkanda- sus astrolabios daban errores por encima de este margen.
Fig. 1. Representación esquemática (fuera de escala) de la base de la Gran Pirámide.
El verdadero comienzo de la astrometría de precisión se debe a Ticho Brahe (1590). Según Kepler (52) los errores de observación de Ticho eran del orden de 2′. Ello permitió a Kepler el descubrimiento de las leyes que llevan su nombre pues en el movimiento de Marte había un error de 8′ que estaba muy por encima de los errores de Ticho y que Kepler explicó por la elipticidad de la órbita de este planeta.
Ahora bien, si los promedios de observación de Ticho Brahe con su enorme astrolabio de cuadrante mural (casi 5 metros de diámetro) de Uranienburg eran de 2′, el error del instrumento puede calcularse en 10′. Una idea del grado de precisión alcanzado por el astrónomo dinamarqués nos la puede dar el razonamiento psicofisiológico pues el poder resolutivo del ojo humano es del orden de 1′. La medición de un ángulo acumula un error mínimo de 2′ (dos observaciones). Ahora bien, Ticho Brahe consideraba que el diámetro de las estrellas de primera magnitud era de 2′. Esto prueba que lo que en realidad estaba midiendo Ticho era el poder resolutivo de su propio ojo pues las estrellas -como se vio después con el telescopio- son puntuales.
En cuanto a otros instrumentos no-ópticos, todavía se emplean para agrimensura de baja precisión ciertos dispositivos como la “escuadra de pínulas” (las pínulas son aquí cerdas o hilos de Nylon) y las “escuadras de espejos”. El error de estos instrumentos se puede apreciar en los 20′.
Cuando pasamos a estudiar la goniometría egipcia nos encontramos con la sorpresa de que aquellos tecnólogos medían ángulos con la precisión de un segundo de arco (1″). Después de lo que hemos visto, esto debe considerarse como sobrenatural pues trasciende ampliamente la capacidad de ver del ojo humano. En efecto, como lo observara Patrie (88), pueden considerarse los errores de medición angular de los egipcios por debajo de los 12″ de arco. En realidad, la exactitud egipcia es mucho mayor y puede, por diversos análisis que iremos viendo, calcularse en una precisión por debajo del segundo arco. No hay que olvidar que los 12″ de Petrie están referidos, entre otras cosas, a los ángulos diedros rectángulos con error de 10″ del revestimiento y los sarcófagos. Pero éste es un error “normalizado” que implica un error máximo de 2 a 3 segundos en el instrumento. El ángulo N.O. de la Gran Pirámide, por ejemplo, mide 89°59′58″ lo que, tratándose de un replanteo, es indicatorio de una precisión del orden de 1″. Los buenos teodolitos modernos miden con un error de 1″. Estos errores son inevitables dada la cantidad de factores incidentes tales corno los errores de la lectura de los nonius, dilatación térmica de instrumentos y elementos de lectura, errores de nivelación, error de arrastre, viento, errores de apreciación sobre el retículo, refracción atmosférica, etc., etc. Todo esto, evidentemente, ha debido ser tenido en cuenta por los topógrafos egipcios.
Vemos, pues, que lo mismo que en el caso de la mensuración, el error de angularidad es del mismo orden en las estructuras pequeñas (sarcófagos, cámaras) que en las grandes. Ello presta una homogeneidad al sistema de medidas egipcias que excluye cualquier hipótesis basada en el azar o la casualidad.
En la Fig. 1 podemos apreciar una explicación esquemática (fuera de escala) de la topografía de la base de la Gran Pirámide, según los datos de Cole-Borchardt. En el ángulo N-0 se indica el error (por defecto) de -0°0′2″ que debe ser distribuido entre errores de medición y replanteo de ellos y nosotros. En cambio en los ángulos N-E y S-E hay diferencias con el ángulo rectángulo de +3′2″ y —3′33″ que no pueden ser atribuidos a error. Como hemos mostrado en “La Mensuración” la simetría con que el lado BC corta al lado ideal B’C’ nos muestra un propósito deliberado al que nos vamos a referir en seguida. Debe observarse desde ya que la línea B’C’ forma con el lado BC un ángulo exacto de 3′0″.
Este ángulo de 3′0″ que forma el lado Oeste con el lado Este corresponde a una técnica usada en varias ocasiones por los constructores de la Gran Pirámide y que nos permite escribir la longitud del lado ideal de la Gran Pirámide con indicación de un “error standard”:
L = (230,355 ± 0,1005) metros
Observando el ángulo SO de 90°0′33″, este “error” de 33″ es exagerado para la capacidad de medición goniométrica egipcia. Cabe preguntar si no podría tratarse de un “error intencionado” al estilo de los viejos babilonios. Es interesante observar que 32,4″ corresponden a una subdivisión exacta en el Sistema Decimal de división de la circunferencia. La decimalidad del trabajo egipcio en la Gran Pirámide hace factible la hipótesis de la división decimal de sus instrumentos de medición angular.
Continuando el estudio de la goniometría egipcia corresponde analizar el problema que ya vimos constituía la orientación según el meridiano de las pirámides. Como quiera que estos monumentos fueron construidos hace 5000 años y el polo terrestre está sometido a movimientos anuales y seculares, únicamente por el conocimiento de la posición del polo en la época de erección de la pirámide sería posible hacer un análisis exacto del problema goniométrico. Lamentablemente, nuestra geofísica no está todavía en condiciones dé abordar este problema que es objeto en este momento de discusiones geofísicas y geológicas. Para A. G. Kamarov (53) los movimiento seculares del polo permitirían explicar las modificaciones climáticas observadas en la evolución terrestre. W. Markowitz (70) desde el punto de vista geofísico calcula este desplazamiento en 0″0032 por año a lo largo del meridiano 60°E. Ello representaría un movimiento no mayor de 16″ en los 5000 años transcurridos desde la erección de la Gran Pirámide. Manifiestamente esto es inferior a los 5′ indicados por las pirámides, pero hay que considerar que se trata de trabajos incipientes en un terreno por el momento desconocido de la geofísica.
Quizás el primero que haya pensado que la desviación de 5′ al oeste del meridiano indicado por la Gran Pirámide podía deberse a la desviación del polo haya sido Petrie (88) quien hace un análisis geofísico del problema sobre el supuesto del desplazamiento de la masa de agua oceánica como causante de la desviación del polo terrestre. Hay que tener en cuenta que Petrie estaba altamente familiarizado con la goniometría egipcia y sabía muy bien que un error de 5 minutos no podía ser cometido por aquellos trabajadores de precisión. En opinión de Petrie (88) los errores de medición de ángulos de los egipcios no excedían de los 12″, manifestando, al mismo tiempo, que no se imaginaba como pudieron hacer medidas de esta precisión.
Pero si bien no conocemos la posición exacta del polo en la lejana época de Kheops, en cambio podemos establecer una comparación entre la pirámide de Kheops y la de Kefren que fueron erigidas en época muy próxima entre sí. Los valores azimutales se encuentran expresados en la siguiente tabla donde aparece la desviación hacia el Oeste de las estructuras de ambas pirámides:
Tabla II
Desviación Azimutal
Kheops Kefren
Núcleo (Petrie) 5′16″ Pasajes (Petrie) 5′37″
Pasajes (Petrie) 5′49″ Revestimiento (Petrie) 5′26″
Revestimiento Este (Colé) 5′30″
Promedio 5′31″ 5′31″
Este resultado nos muestra el exacto paralelismo de dos estructuras separadas por más de un kilómetro de distancia. Se puede pensar que ambas orientaciones fueron determinadas independientemente con relación a las estrellas circumpolares, o que se orientó astronómicamente una y la otra lo fue con relación a la primera. Pero con esto el problema tecnológico no se supera pues en ambos casos el instrumento necesario para efectuar medidas de esta precisión debió tener un error por debajo del segundo. Lo concreto es que hoy día un paralelismo de dos estructuras del orden que presentan las dos grandes pirámides de Gizeh no se puede conseguir con los teodolitos comunes. No hay pues, que pretender que los egipcios fueran capaces de hacer sin teodolitos lo que nosotros apenas podemos hacer con el auxilio de estos instrumentos.
Podemos enfocar el problema anterior desde otro punto de vista, teniendo en cuenta el “peso del error”. En tal caso la comparación del azimut de ambas pirámides deberá hacerse con relación a la orientación del revestimiento -estructuras que deben contener los errores más reducidos- pero con ello no varían los resultados. La conclusión es, nuevamente, que el instrumento egipcio debió medir con errores por debajo del segundo de arco -en plena coincidencia con todos los otros aspectos de la goniometría y la mensuración de precisión que venimos analizando.
Como puede verse en la Tabla II. el cuerpo de la pirámide de Kheops, sus pasajes y su revestimiento del lado Este se encuentran en un exacto paralelismo que coincide asimismo con el del revestimiento, cuerpo y pasajes de la pirámide de Kefren. Por esta circunstancia la observación de que los otros lados (Norte, Sud y Oeste) de la base de la pirámide de Kheops están orientados 3′ hacia el Este del Norte con relación a la dirección anterior revela un hecho intencionado que debe ser analizado. Más adelante vamos a ver que los egipcios empleaban un sistema de indicación de magnitudes por el promedio de una mayor y otra menor. Como vimos hace un momento, el lado Oeste de la base representa con exactitud milimétrica el promedio del lado Norte y el Sud. Esto coincidiría con lo que vamos a ver más adelante, pero la indicación del promedio se hubiera efectuado mucho mejor orientando correctamente los tres lados y dejando el lado Este en la dirección anormal. Los egipcios han procedido de otra manera mostrando ello que atribuían un valor especial a la orientación representada por los tres lados.
Con ello nos quedan indicadas dos direcciones para el meridiano. Una, la más probable, indicada por el lado Este, el cuerpo y los pasajes de la Gran Pirámide y los cuatro lados del revestimiento, el cuerpo y los pasajes de la pirámide de Kefren: o sea la dirección 5′31″ al Oeste del Norte. La otra dirección, indicada por los tres lados del revestimiento de la Gran Pirámide, señalan una orientación de 2′29″ con relación a nuestro meridiano. ¿Qué significan estas dos direcciones para el meridiano? Recordemos que Zaba interpretaba la duplicación del meridiano que aparece en los templos egipcios como debida a que observaciones efectuadas durante milenios les habían mostrado la existencia de un movimiento secular del polo geográfico -cosa natural en una cultura que poseía registros milenarios. Pero observando que nosotros, los modernos, también tenemos duplicado el meridiano es muy probable que la duplicación egipcia corresponda a la propia nuestra, es decir, que la segunda dirección (la indicada por los tres lados anómalos de la base de la pirámide de Kheops) correspondería a la dirección del meridiano magnético. Se plantea empero el problema del valor de dejar indicada tal dirección para una época tan remota. Teniendo en cuenta la variabilidad secular extrema del polo magnético esta indicación puede haber correspondido a varias épocas sucesivas en el transcurso de los milenios. Una objeción similar puede hacerse a la teoría de Zaba sobre la duplicación del meridiano en los templos egipcios pues la observación a lo largo de milenios no daría una exacta duplicación sino que indicaría múltiples posiciones y el meridiano por tanto debía ser indicado por múltiples líneas y no solamente por las dos que venimos viendo.
Se puede plantear la cuestión de que la brújula, en tiempos históricos, recién se conoce por los relatos de viajeros que vieron su uso (75) por marinos árabes en el Mar de Arabia hacia el 1250, o por la posibilidad de que fuera conocida siglos antes (75) por los Vikingos. Pero tal cuestión equivaldría a sostener que los babilonios no pudieron conocer las pilas eléctricas porque éstas fueron descubiertas por Volta recién hacia 1800; y es sabido (37) (85) que los babilonios no solamente conocieron las pilas sino que, incluso, realizaron complejas operaciones de electroquímica (85). En mi opinión, los avanzados tecnólogos egipcios difícilmente pudieron ignorar las propiedades de la aguja magnética. Esta sería la mejor explicación, y la más natural, de la duplicación del meridiano de los egipcios tanto en los templos como en la ya vista duplicación indicada por las pirámides. Otra explicación podría ser la correspondencia entre dos fechas y dos direcciones del meridiano. En tal caso, si suponemos que la dirección de 5′31″ correspondió a la fecha de fundación de la pirámide -es decir hace unos 4800 años- la segunda dirección (2′29″) hubiera correspondido al comienzo de la Era Cristiana. Pero este cálculo requiere un movimiento secular regular del polo, lo cual nuestra geofísica actual todavía no está en condiciones de investigar.
Continuando el estudio de la goniometría egipcia analizaremos otro interesante problema tecnológico planteado por la Gran Pirámide y al cual los distintos investigadores han tratado de resolver de diversas maneras, cada uno según su criterio previamente formado en torno a la capacidad técnica que debieron poseer los egipcios. Se trata de la perfecta euclidicidad y horizontalidad del plano de la base de la Gran Pirámide. El problema es altamente interesante porque la nivelación debió efectuarse prescindiendo de las direcciones diagonales ya que en el centro los constructores dejaron sin tocar la piedra de la meseta y solamente rebajaron el perímetro. Este mismo mogote central dificulta, como lo sabe todo agrimensor, las operaciones de cuadración del perímetro de la base que debió ser efectuada por medios puramente ópticos.
El estudio de la base revela un plano perfecto en todo el perímetro de 920 metros que presenta un desnivel homogéneo a lo largo de la diagonal S-E/N-O de tal manera que el ángulo S-E se revela 15 mm más alto que el N-O. Sobre la diagonal de 325 m esto representa un error de 0,04 mm/metro, en homogeneidad con todos los errores relativos que hemos calibrado. Mostrando ello, una vez más, la existencia de un instrumento que arrojaba errores por debajo de este orden. Al estudiar el problema presentado por esta desnivelación homogénea de un plano perfecto surge la posibilidad de que en los milenios transcurridos el suelo de la meseta de Gizeh haya sufrido una alteración en su horizontalidad. Con todo, la precisión lograda es importante como asimismo la perfección del plano. El error angular sería de 8″.
La impresión de conjunto de la goniometría egipcia es que debieron poseer medios ópticos de alta precisión para obtener los resultados logrados por ellos.
