El Problema de Diodefre

El Problema de Diodefre
El estudio de la metrología arqueológica en Egipto se detuvo en el punto en donde lo dejó Petrie, Puede decirse que en los últimos treinta años no se ha hecho ninguna contribución de valor en materia de metrología arqueológica egipcia. Podría pensarse que los avances logrados por aquel arqueólogo fueron suficientes por haber llevado la tarea a la perfección; pero este punto de vista estaría en contradicción con el propio criterio del citado autor que continuamente señala en su obra las innúmeras lagunas y las dificultades insuperadas de sus trabajos. En mi opinión, el abandono de la metrología como ciencia se debe al descrédito generado para esta disciplina por las publicaciones de Piazzi Smyth y sus sucesores. Personalmente encontré en Egipto una sorda resistencia de parte de muchos arqueólogos a la consideración de problemas de metrología pues ellos pensaban, con rara unanimidad, que “en las pirámides no hay ningún asunto de números”. Esta confusión entre ciencia y superstición es muy posible sea uno de los factores determinantes del abandono de una disciplina netamente científica que contó entre sus cultores a hombres con Isaac Newton, Decourdemanche, Weigall, Vázquez Queipo, Wilkinson, Segré y al propio Petrie.
Otro de los factores que dificultan estos estudios reside en la modalidad exótica para nosotros del pensamiento científico de aquella lejana época. Como vamos a ver en seguida, puede sernos de mucha utilidad el conocimiento de algunas modalidades de la matemática babilónica que tenía ciertos punto de contacto con la egipcia. Y en el terna particular de la metrología estas conexiones son bien conocidas desde que, como observa Petrie, el Codo Real egipcio debiera llamarse más bien egipcio-babilónico pues existe completa correspondencia entre ambas unidades tanto en su longitud cuanto en su sistema de subdivisión decimal. En efecto, se conoce la división -que aparece en las dinastías egipcias posteriores- del “codo” en seis “palmos”, pero en la época de la IV Dinastía las divisiones del Codo Real eran siempre decimales y lo mismo, señala el citado autor, las dimensiones de las pirámides de Gizeh están dadas de acuerdo a una escala decimal. Lo mismo puede decirse de Babilonia en donde, como es sabido, las unidades de superficie y volumen eran obtenidas a partir de la unidad lineal; y la unidad de peso correspondía al volumen de agua de la unidad de volumen. Exactamente como en nuestro moderno y racional Sistema Métrico Decimal (25).
El estudio de la matemática antigua nos será de utilidad para un mayor conocimiento de las peculiaridades de la metrología egipcia. En relación con la matemática babilónica son bien conocidas las “tablas de inversas” (”Igi”) cuyo estudio ha permitido avanzar en el conocimiento de las operaciones efectuadas por aquellos antiguos matemáticos. Se conocen tablas de inversas para números enteros y fraccionarios -todas ellas en el sistema sexagesimal de numeración decimal en el cual los ceros venían indicados por la posición de los números. De una tabla de inversas perteneciente a la “Plimpton Collection” (Columbia University) ha hecho Neugebauer (81) un estudio exhaustivo. Me interesa destacar los errores que aparecen en esta tableta ya que, como observa el citado autor, los errores de los copistas nos ilustran muchas veces sobre sus procedimientos de cálculo.
Desde ya que los verdaderos errores son muy poco frecuentes en las tabletas matemáticas y es dable observar la presencia de ciertos errores particulares o peculiares que darían la impresión de ser deliberados. Se sabe que muchos de estos errores tenían una finalidad didáctica (81) y ya vimos en el capítulo sobre “Goniometría” la presencia de errores de medida deliberados que nos ilustran sobre los tipos de subdivisiones del círculo empleados por los antiguos topógrafos. En el caso que nos ocupa, encontramos dos errores particularmente significativos. Uno de ellos es la substitución de un número por su cuadrado: el otro es la substitución de un número por su mitad. En efecto se ha escrito, en notación sexagesimal, 7.12.1 en lugar de 2,41 y se ha escrito 53 que es la mitad del número 1,46 que debió haber sido escrito. Se encuentran también en otras tabletas substituciones de un número por su inversa, apareciendo como el error más común -casi obligado por la indefinición de la posición de la coma- la substitución de un número por sus múltiplos y submúltiplos periódicos -sexagesimales en este caso. El cero, claramente indicado con un signo, recién aparece en la época Seléucida, pero interpretable por la posición de la cifra es de uso normal en el Antiguo Imperio. Thureau-Dangin (121) ha puntualizado la enorme importancia de esta abstracción del valor numérico como herramienta, de calculo y que conduce al sistema de numeración arábigo de nuestros días.
Es importante que tengamos en cuenta la filosofía incluida en estos errores pues nos será de utilidad en nuestros análisis de la metrología egipcia. Lo que hemos visto sugiere que para un escriba babilónico había entre un número, su cuadrado, su inversa y su doble una identidad tal que podía representárselo indistintamente con cualquiera de estas expresiones. Esto está muy alejado de nuestra rígida y personalista concepción actual, pero aquel modo de pensar tenía sus razones de ser. En particular vinculación a Egipto, la asociación de un número con sus múltiplos y submúltiplos decimales tiene una raíz cosmológica de la que me he ocupado en otro lugar (1).
Más adelante vamos a tener oportunidad de ocuparnos en detalle con los orígenes y derivaciones de otro “error” muy difundido en la matemática babilónica, o sea la costumbre inveterada de aquellos matemáticos de sumar cantidades heterogéneas tales como áreas y longitudes; ladrillos y hombres, etc. Esto que a nosotros nos está expresamente prohibido desde la enseñanza escolar donde nos prevenían de sumar “manzanas con caballos” era de uso corriente en Babilonia -como lo muestran las tabletas cuneiformes (81)- y forma el cordón umbilical que conecta al origen la matemática de Diofanto y Herón. Herón (81), en efecto, realiza similares operaciones. ¿Pero se trataba de un verdadero error? Para nosotros sí lo es, pero ¿lo era para ellos? Podemos erigirnos en jueces sobre esta cuestión y condenar -como lo hacen unánimemente los historiadores de la matemática de nuestros días- aquella “errónea” práctica; pero más adelante vamos a ver cuan poderosas razones había para proceder de aquel modo y tanto que implicaba el conocimiento de teoremas ignorados por los geómetras modernos. Este fenómeno -puntualizado más adelante- representa una aguda discontinuidad entre la matemática egipcio-babilónica y la que, a través de Grecia, llegó hasta nosotros.
Estas observaciones sobre aquella antiquísima aritmética van a sernos de utilidad en el análisis que vamos a efectuar del sarcófago de Diodefre -hijo de Kheops- del que ya hemos hablado por mostrar en el Museo de El Cairo los métodos de aserrado empleados por los antiguos artesanos.
Las dimensiones -obtenidas por el autor- de dicho sarcófago, catalogado con los números 54.938-6193, correspondientes a la media aritmética de seis medidas independientes son las siguientes:
Interior Exterior
Largo 2,090 m 2,450 m
Ancho 0,890 m 1,230 m
Altura 0,711 m 0,885 m
Volumen 1,330 m3 2,660 m3
El análisis alícuoto del largo interior (2,090 m) nos revela como unidad un Codo Real de 0,523 m con ayuda del cual podemos determinar las primitivas dimensiones numéricas del sarcófago. Por razones que se apreciarán más adelante, prefiero hacer la traducción con el doble de dicha unidad, es decir, el valor 1,046 m -lo cual no hace violencia a ninguna concepción metrológica. De esta forma, las dimensiones quedarán en la disposición indicada en la Tabla siguiente que adoptaremos en adelante para especificar las dimensiones de cámaras y sarcófagos, es decir: En primera línea, el largo, ancho y altura interior; en la segunda línea las correspondientes cantidad exteriores.
2,00 x 0,855 x 0,685 = 1,17
2,34 x 1,17 x 0,855 = 2,34
Si se analizan estas dimensiones se descubrirá que siete de las ocho cantidades corresponden a un mismo número. En efecto
2,34 = 2 x 1,17
0,855 = 1/1,17
0,685 = (1,17)2 /2.
vale decir que las seis dimensiones del sarcófago y sus volúmenes interno y externo están determinados por el número 234, su mitad, su inversa y su cuadrado.
Si se hace el planteo del problema resuelto en el sarcófago de Diodefre, el mismo podría especificarse en estos términos:
Problema: Dimensionar un sarcófago de modo que todas sus dimensiones lineales y su volumen interno y externo estén determinados por un número, su inversa, su mitad y su cuadrado.
Teniendo en cuenta que una vez dadas las dimensiones lineales el volumen está automáticamente determinado, el problema aparece a priori como insoluble. Si se analiza el problema desde el punto de vista de la “teoría de ecuaciones”, la cuestión equivale a resolver un sistema de ocho ecuaciones con seis incógnitas, el cual, reconocidamente, no tiene solución Así pues, la solución encontrada por Diodefre sería la solución singular de un problema que no tiene solución general. Sin embargo, el problema admite dos soluciones generales que pueden escribirse en notación moderna:
2 x 2/a x (a/2)2 /2 = a/2
a x a/2 x 2/a = a,
que son, precisamente, las dos soluciones encontradas por Diodefre y aplicadas por él al número 234.
¿Por qué eligió Diadefre este número que no aparece jamás en la egiptología? ¿Qué significación especial tuvo para él este número destinado a servir de módulo único para su sarcófago? Más adelante vamos a volver a encontrar números como éste; por lo pronto observaré que el modus operandi mediante el cual fue dimensionado este sarcófago nos muestra -en asociación con la matemática caldea- que las operaciones de multiplicar por dos, de invertir el número o elevarlo al cuadrado no alteraban la esencia del mismo. Puede decirse, de este modo que el sarcófago está dimensionado con el solo número 234. Esta conclusión nos va a ser de utilidad en análisis ulteriores en donde volveremos a ver aplicada esta modalidad aritmética tan separada de nuestras concepciones modernas y que podría caracterizarse como una “inmortalidad” del número que no “pierde su “esencia” por su multiplicación por sí mismo, por dos, por diez o por su inversión. Evidentemente, algo así como una metempsícosis numérica muy al estilo de las ideas religiosas de aquellas lejanas épocas.
Como han mostrado fehacientemente las investigaciones de Thureau-Dangin (124) y Neugebauer (81), los babilonios conocían el Teorema de Pitágoras 1500 años antes de éste, es decir hacia el año 2000 a.C. (I Dinastía de Babilonia). Pero el “Problema de Diodefre”, con sus dos soluciones generales, corresponde al año 2.500 a.C. Debe considerárselo, por tanto, el más antiguo problema del mundo.